Позиционная
система счисления
Позиционная
система счисления это система
счисления, в которой значение цифры зависит от разряда.
Разрядом числа называется место цифры в числе.Наибольший вес имеет самый левый разряд, наименьший вес имеет самый правый разряд.
Нумерация разрядов увеличивается справа налево.
В позиционной системе одна и та же цифра в числе имеет различный вес.
Например: в числе 54510 цифра 5 имеет различный вес: первая цифра 5 - показывает количество сотен, вторая цифра 5 - показывает количество единиц.
5
4 5
число сотен число десятков число единиц
У чисел в позиционной системе счисления имеется основание системы - n.
Основанием системы счисления n называют количество цифр в числе используемых для записи чисел.
n принадлежит числовому промежутку от 0 до n-1 включительно.
Например: В десятичной системе счисления n=10. Первая цифра будет 0, последней будет 9 9=10-1.
Действительно в данной системе используется 10 цифр для записи различных чисел
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
В двоичной системе будет всего два числа, т.к. n=2.
Сами цифры будут такими: 0 - первая цифра, 1 - вторая цифра (2-1=1).
А как будет в восьмеричной системе?
n=8. Восемь цифр, первая - 0, последняя - ???. Верно - 7.
Вот эти цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Давайте посмотрим, что происходит в шестнадцатиричной системе.
n=16. Цифр должно быть 16, первая - 0, последняя - какая??15? - Ведь у нас всего десять цифр.
Здесь на помощь приходят буквы.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.
число сотен число десятков число единиц
У чисел в позиционной системе счисления имеется основание системы - n.
Основанием системы счисления n называют количество цифр в числе используемых для записи чисел.
n принадлежит числовому промежутку от 0 до n-1 включительно.
Например: В десятичной системе счисления n=10. Первая цифра будет 0, последней будет 9 9=10-1.
Действительно в данной системе используется 10 цифр для записи различных чисел
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
В двоичной системе будет всего два числа, т.к. n=2.
Сами цифры будут такими: 0 - первая цифра, 1 - вторая цифра (2-1=1).
А как будет в восьмеричной системе?
n=8. Восемь цифр, первая - 0, последняя - ???. Верно - 7.
Вот эти цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Давайте посмотрим, что происходит в шестнадцатиричной системе.
n=16. Цифр должно быть 16, первая - 0, последняя - какая??15? - Ведь у нас всего десять цифр.
Здесь на помощь приходят буквы.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.
Непозиционная система счисления
Непозиционная
система счисления - это система счисления, в которой значение цифры не
изменяется в зависимости от ее расположения.
Примером непозиционной системы счисления служит римская система, в которой вместо цифр используются латинские буквы.
Например: Число 242 можно записать ССXLII (т.е. 100+100+(50-10) +1+1).
Число 96 запишем IXVI=(-1+10)+(5+1).
Значение 1=I в данном случае не изменяется от ее местоположения.
Примером непозиционной системы счисления служит римская система, в которой вместо цифр используются латинские буквы.
Например: Число 242 можно записать ССXLII (т.е. 100+100+(50-10) +1+1).
Число 96 запишем IXVI=(-1+10)+(5+1).
Значение 1=I в данном случае не изменяется от ее местоположения.
Соответствие римской и арабской системы записи
I V
X L
C D M
1 5 10 50 100 500 1000
1 5 10 50 100 500 1000
Перевод
из любой системы счисления в десятичную систему счисления
Для
перевода целого числа из любой системы счисления в
десятичную, необходимо записать данное число в общем виде:
anbn+an-1bn-1+an-2bn-2+...+a2b2+a1b1+a0b0
Например: переведем число 12568 в десятичную систему счисления.
12568=1·83+2·82+5·81+6·80=1·512+2·64+5·8+6·1=68610
Правило
перевода числа из десятичной системы счисления в другую систему.
1)
Делим данное число на основание той системы, в которую необходимо перевести число.
2) Полученное число делим аналогично на основание системы, в которую необходимо перевести число.
3) Пункт 2 повторяем до тех пор пока, полученное частное не будет меньше основания.
4) Выписываем остатки от деления в порядке от последнего к первому.
2) Полученное число делим аналогично на основание системы, в которую необходимо перевести число.
3) Пункт 2 повторяем до тех пор пока, полученное частное не будет меньше основания.
4) Выписываем остатки от деления в порядке от последнего к первому.
Например:
1 способ записи:
|
||||||
242510
|
8
|
2425:8=303+(1остаток)
|
||||
остаток 1
|
303
|
8
|
303:8=37+(7остаток)
|
|||
остаток 7
|
37
|
8
|
37:8=4+(5остаток)
|
|||
остаток 5
|
4 |
Т.к. 4<8 деление
прекращаем
|
||||
Ответ:
242510=45718
|
||||||
2 способ записи:
|
||
242510
|
8
|
|
остаток 1
|
303
|
|
остаток 7
|
37
|
|
остаток 5
|
4 | |
Т.к. 4<8 деление
прекращаем
|
||
Ответ:
242510=45718
|
||
Правило перевода чисел из двоичной системы счисления в
восьмеричную
1) Разбиваем
число по три цифры на группы начиная с младшего разряда.
Если не хватает до целой тройки цифр, то добавляем необходимое количество нулей справа.
2) Каждую полученную тройку цифр заменяем цифрой из восьмеричной системы счисления.
(Можно использовать "Таблицу Систем Счисления" - первым смотрим столбик А2, затем - столбик А8).
3) Дробную часть разбиваем на тройки вправо от запятой.
Если не хватает цифр, то припысываем нули слева.
Если не хватает до целой тройки цифр, то добавляем необходимое количество нулей справа.
2) Каждую полученную тройку цифр заменяем цифрой из восьмеричной системы счисления.
(Можно использовать "Таблицу Систем Счисления" - первым смотрим столбик А2, затем - столбик А8).
3) Дробную часть разбиваем на тройки вправо от запятой.
Если не хватает цифр, то припысываем нули слева.
Правило перевода чисел из двоичной системы счисления в
шестнадцатиричную
1) Разбиваем
число по четыре цифры на группы начиная с младшего разряда.
Если не хватает до целой четверки цифр, то добавляем необходимое количество нулей справа.
2) Каждую полученную четверку цифр заменяем цифрой из восьмеричной системы счисления.
(Можно использовать "Таблицу Систем Счисления" - первым смотрим столбик А2, затем - столбик А16).
3) Дробную часть разбиваем на четверки вправо от запятой.
Если не хватает цифр, то припысываем нули слева.
Если не хватает до целой четверки цифр, то добавляем необходимое количество нулей справа.
2) Каждую полученную четверку цифр заменяем цифрой из восьмеричной системы счисления.
(Можно использовать "Таблицу Систем Счисления" - первым смотрим столбик А2, затем - столбик А16).
3) Дробную часть разбиваем на четверки вправо от запятой.
Если не хватает цифр, то припысываем нули слева.
Правило перевода чисел из восьмеричной системы
счисления в двоичную
Заменяем
каждую цифру данного восьмеричного числа соответсвующим ей двоичным
эквивалентом.
(Можно использовать "Таблицу Систем Счисления" - первым смотрим столбик А8, затем - столбик А2).
Если до полной тройки не хватает цифр, то в данной тройке добавлем недостающее количество нулей справа.
(Можно использовать "Таблицу Систем Счисления" - первым смотрим столбик А8, затем - столбик А2).
Если до полной тройки не хватает цифр, то в данной тройке добавлем недостающее количество нулей справа.
Правило перевода чисел из шестнадцатиричной системы
счисления в двоичную
Заменяем
каждую цифру данного шестнадчатиричного числа соответсвующим ей двоичным
эквивалентом.
(Можно использовать "Таблицу Систем Счисления" - первым смотрим столбик А8, затем - столбик А2).
Если до полной четверки не хватает цифр, то в данной четверке добавлем недостающее количество нулей справа.
(Можно использовать "Таблицу Систем Счисления" - первым смотрим столбик А8, затем - столбик А2).
Если до полной четверки не хватает цифр, то в данной четверке добавлем недостающее количество нулей справа.
Перевод из десятичной системы счисления в
двоичную, восьмеричную, десятичную
Задание: Переведите из десятичной системы в
двоичную 43410->A2
Перевод из двоичной системы счисления в десятичную
Задание: Перевести число 11011012 в десятичную систему счисления.
Для перевода записываем данное число в общем виде:
1·2^6+1·2^5+0·2^4+1·2^3+1·2^2+0·2^1+1·2^0=
=1·64+1·32+0·16+1·8+1·4+1·0+1·1=10910
Ответ: 11011012=10910
Для перевода записываем данное число в общем виде:
1·2^6+1·2^5+0·2^4+1·2^3+1·2^2+0·2^1+1·2^0=
=1·64+1·32+0·16+1·8+1·4+1·0+1·1=10910
Ответ: 11011012=10910
Перевод из
восьмеричной системы счисления в десятичную
Задание: Перевести число 1738 в десятичную систему счисления.
Для перевода записываем данное число в общем виде:
1·8^2+7·8^1+3·8^0=1·64+7·8+3·1=12310
Ответ: 1738=12310
Для перевода записываем данное число в общем виде:
1·8^2+7·8^1+3·8^0=1·64+7·8+3·1=12310
Ответ: 1738=12310
Перевод из
шестнадцатиричной системы счисления в десятичную
Задание: Перевести число 2А3С16 в десятичную систему счисления.
Для перевода записываем число в общем виде (обратим внимание на то, что букве А соответствует значение 10, а букве С - 12):
2·16^3+10·16^2+3·16^1+12·16^0=2·4096+10·256+3·16+12·1=1081210
Ответ: 2А3С16=1081210
Для перевода записываем число в общем виде (обратим внимание на то, что букве А соответствует значение 10, а букве С - 12):
2·16^3+10·16^2+3·16^1+12·16^0=2·4096+10·256+3·16+12·1=1081210
Ответ: 2А3С16=1081210
Перевод чиcла из
двоичной системы счисления А2 в восьмериную А8
Задание. Перевести число 11110111012 в восмеричную систему счисления.
-Разбиваем данное число на группы по три цифры слева:
1 111 011 1012
-Используем таблицу систем счисления: в столбике А2 находим число 1, далее находим, соответствующее ему число из столбика А8. Выписываем найденное число -1.
1 111 011 1012
1
-В столбике А2 находим число 111, далее находим, соответствующее ему число из столбика А8 - 7. Выписываем найденное число -7.
1 111 011 1012
1 7
-В столбике А2 находим число 011 или 11, далее находим, соответствующее ему число из столбика А8 - 3. Выписываем найденное число - 3.
1 111 011 1012
1 7 3
-В столбике А2 находим число 101, далее находим, соответствующее ему число из столбика А8 - 5. Выписываем найденное число - 5.
1 111 011 1012
1 7 3 5
Ответ: 17358.
-Разбиваем данное число на группы по три цифры слева:
1 111 011 1012
-Используем таблицу систем счисления: в столбике А2 находим число 1, далее находим, соответствующее ему число из столбика А8. Выписываем найденное число -1.
1 111 011 1012
1
-В столбике А2 находим число 111, далее находим, соответствующее ему число из столбика А8 - 7. Выписываем найденное число -7.
1 111 011 1012
1 7
-В столбике А2 находим число 011 или 11, далее находим, соответствующее ему число из столбика А8 - 3. Выписываем найденное число - 3.
1 111 011 1012
1 7 3
-В столбике А2 находим число 101, далее находим, соответствующее ему число из столбика А8 - 5. Выписываем найденное число - 5.
1 111 011 1012
1 7 3 5
Ответ: 17358.
Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную
Задание: Перевести число из 13468 в двоичную систему счисления.
Для перевода используем таблицу систем счисления.
Каждую цифру данного числа находим в столбике А8, выписываем ниже ее соответсвие из столбика А2, образовывая тройки чисел.
Если до тройки не хватает, то подписываем справа 0, например для 3 подписали один 0 и для 1 - два 0.
Первые 0 полученного числа можно удалить!
3 4 1 6
011 100 001 110
Ответ: 13468=11 100 001 1102
Для перевода используем таблицу систем счисления.
Каждую цифру данного числа находим в столбике А8, выписываем ниже ее соответсвие из столбика А2, образовывая тройки чисел.
Если до тройки не хватает, то подписываем справа 0, например для 3 подписали один 0 и для 1 - два 0.
Первые 0 полученного числа можно удалить!
3 4 1 6
011 100 001 110
Ответ: 13468=11 100 001 1102
Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в
двоичную систему
Задание: Перевести число из В40Е16 в двоичную систему счисления.
Для перевода используем таблицу систем счисления.
Каждую цифру данного числа находим в столбике А16, выписываем ниже ее соответствие из столбика А2, образовывая четверки чисел.
Если до тройки не хватает, то подписываем справа 0, например, для 4 подписали один 0 и для 0 - четыре 0.
Первые 0 полученного числа можно удалить!
В 4 0 Е
1011 0100 0000 1110
Ответ: В40Е16=1011 0100 0000 11102
Для перевода используем таблицу систем счисления.
Каждую цифру данного числа находим в столбике А16, выписываем ниже ее соответствие из столбика А2, образовывая четверки чисел.
Если до тройки не хватает, то подписываем справа 0, например, для 4 подписали один 0 и для 0 - четыре 0.
Первые 0 полученного числа можно удалить!
В 4 0 Е
1011 0100 0000 1110
Ответ: В40Е16=1011 0100 0000 11102
Сложение
чисел в двоичной системе счисления
Выполните
сложение чисел 1С5216+89116 :
Сложение
двух чисел в восьмеричной системе счисления
Выполните
сложение 63548+7058:
+
|
6
|
3
|
5
|
4
|
|
7
|
0
|
5
|
|||
1
|
1
|
||||
7
|
3
|
6
|
1
|
||
4+5=9=1*8+1
|
|||||
5+0+1=6
|
|||||
3+7=10
|
Сложение в восьмеричной системе счисления
Выполните
сложение чисел 63548+7058:
Ответ: 73618.
Сложение в шестнадцатиричной системе счисления
Выполните
сложение чисел 1С5216+89116 :
Ответ: 24Е316.
Вычитание в двоичной системе счисления
Выполните
вычитание 10112-1012:
Ответ: 1102.
Вычитание в восьмеричной системе счисления
Выполните
вычитание 63548-7058:
Ответ: 74478.
Умножение в двоичной системе
Выполните
умножение 11012*1112.
Ответ: 10110112.
Умножение в восьмеричной системе счисления
Выполните
умножение чисел 63548*7058 в восьмеричной системе счисления.
Ответ: 55636248
Умножение в шестнадцатиричной системе счисления
Выполните
умножение чисел 20А416+В1516.
Ответ: 169B98416.
Таблица систем счисления
Десятичная
А10 |
Двоичная
А2 |
Восьмеричная
А8 |
Шестнадцатиричная
А16 |
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
2
|
10
|
2
|
2
|
3
|
11
|
3
|
3
|
4
|
100
|
4
|
4
|
5
|
101
|
5
|
5
|
6
|
110
|
6
|
6
|
7
|
111
|
7
|
7
|
8
|
1000
|
10
|
8
|
9
|
1001
|
11
|
9
|
10
|
1010
|
12
|
A
|
11
|
1011
|
13
|
B
|
12
|
1100
|
14
|
C
|
13
|
1101
|
15
|
D
|
14
|
1110
|
16
|
E
|
15
|
1111
|
17
|
F
|
16
|
10000
|
20
|
10
|
17
|
10001
|
21
|
11
|
18
|
10010
|
22
|
12
|
19
|
10011
|
23
|
13
|
20
|
10100
|
24
|
14
|
21
|
10101
|
25
|
15
|
22
|
10110
|
26
|
16
|
23
|
10111
|
27
|
17
|
24
|
11000
|
30
|
18
|
25
|
11001
|
31
|
19
|
26
|
11010
|
32
|
2A
|
27
|
11011
|
33
|
2B
|
28
|
11100
|
34
|
2C
|
